Question

17．在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），连结AD，作∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=$\frac{4}{5}$．有下列结论：①△ADE∽△ACD； ②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③当△DCE为直角三角形时，BD=8；④3.6≤AE＜10．其中正确的结论是（　　）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②由BD=6，则DC=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；
③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；
④依据相似三角形对应边成比例即可求得．

解答 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD；
故①正确；
②作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=$\frac{4}{5}$，
∴BG=ABcosB，
∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×$\frac{4}{5}$=16，
∵BD=6，
∴DC=10，
∴AB=DC．
在△ABD与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CDE}\\{∠B=∠C}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE（ASA）．
故②正确；
③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=10，
∴BD=8．
当∠CDE=90°时，易证△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=10，
∴cosB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{25}{2}$．
即当△DCE为直角三角形时，BD=8或$\frac{25}{2}$．
故③错误；
④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，
设BD=y，CE=x，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{CE}$，
∴$\frac{10}{16-y}$=$\frac{y}{x}$，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∴0＜x≤6.4，
∵AE=AC-CE=10-x，
∴3.6≤AE＜10．
故④正确．
故正确的结论为：①②④．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，不等式的性质．进行分类讨论是解决③的关键．