Question

17．已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．
（1）若AB=10cm，则AD=（5$\sqrt{5}$-5）cm；
（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；
（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．

Answer 1

分析 （1）根据黄金分割的概念计算即可；
（2）根据黄金三角形的概念和尺规作图的一般步骤作图；
（3）根据黄金分割的概念和黄金三角形的概念证明即可．

解答 解：（1）∵点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=（5$\sqrt{5}$-5）cm，
故答案为：（$5\sqrt{5}-5$）cm；
（2）分别以A、D为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧交于点B′，
连接B′D，则△AB′D即为所求；
（3）证明：由（1）得，点D是线段AB的黄金分割点，
∴底边AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$乘腰AB，
∴三角形ABC是黄金三角形．

点评 此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质，熟知黄金三角形的定义是解题关键．