Question

5．已知：如图1，在平面直角坐标系中，A（2，-1），以M（-1，0）为圆心，以AM为半径的圆交y轴于点B，连结BM并延长交⊙M于点C，动点P在线段BC上运动，长为$\frac{5}{3}$的线段PQ∥x轴（点Q在点P右侧），连结AQ．

（1）求⊙M的半径长和点B的坐标；
（2）如图2，连结AC，交线段PQ于点N，
①求AC所在直线的解析式；
②当PN=QN时，求点Q的坐标；
（3）点P在线段BC上运动的过程中，请直接写出AQ的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，过点A作AE⊥x轴，分别在Rt△AEM和Rt△NOM中利用勾股定理即可解决问题．
（2）①设解析式为设y_AC=kx+b，利用待定系数法即可解决问题．②可求y_BC=3x+3，设点P（x，3x+3）．由题意得点N为（x+$\frac{5}{6}$，3x+3），因为点N落在AC上，所以3x+3=$\frac{1}{2}$（ x+$\frac{5}{6}$）-2，列方程即可解决问题．
（3）当点P与C重合时，Q（-$\frac{1}{3}$，-3），此时AQ′=$\frac{\sqrt{85}}{3}$，过点Q平行BC的直线的解析式为y=3x-2，过点A垂直BC的直线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，与直线y=3x-2的交点为Q′，此时AQ′最小，当点P与点B重合时，Q″（$\frac{5}{3}$，3），此时AQ″=$\sqrt{（2-\frac{5}{3}）^{2}+（-1-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{145}}{3}$，由此即可判断PQ的最大值．

解答 解：（1）如图1中，过点A作AE⊥x轴，

则AE=1，ME=3，
∴AM=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，即半径为$\sqrt{10}$，
所以BM=$\sqrt{10}$，
∵OM=1，
∴OB=$\sqrt{B{M}^{2}-O{M}^{2}}$=3，即点B（0，3）．

（2）如图2中，

①设解析式为设y_AC=kx+b，
由题意得点C与点B关于点M成中心对称，
∴点C（-2，-3）（也可以通过构造全等三角形说明），
又点A（2，-1），
即当x=2时，y=-1；当x=-2时，y=-3，
解得k=$\frac{1}{2}$，b=-2
∴y_AC=$\frac{1}{2}$x-2，

②可求y_BC=3x+3，设点P（x，3x+3）．
由题意得点N为（x+$\frac{5}{6}$，3x+3）
∵点N落在AC上，所以3x+3=$\frac{1}{2}$（ x+$\frac{5}{6}$）-2
解得x=-$\frac{11}{6}$
所以点Q坐标为（-$\frac{1}{6}$，-$\frac{5}{2}$）．

（3）如图3中，

当点P与C重合时，Q（-$\frac{1}{3}$，-3），此时AQ′=$\frac{\sqrt{85}}{3}$，过点Q平行BC的直线的解析式为y=3x-2，
过点A垂直BC的直线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，与直线y=3x-2的交点为Q′，此时AQ′最小（垂线段最短），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y=3x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴Q′（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴AQ的最小值为$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+（-1+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
当点P与点B重合时，Q″（$\frac{5}{3}$，3），此时AQ″=$\sqrt{（2-\frac{5}{3}）^{2}+（-1-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{145}}{3}$，
∴AQ最大值为$\frac{\sqrt{145}}{3}$．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的应用、勾股定理、待定系数法、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．