Question

定理：若x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两实根，则有x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，请用这一定理解决问题：已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²+2=0的两实根，且（x₁+1）（x₂+1）=8，求k的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2，再变形已知条件得到k²+2+2（k+1）+1=8，解得k₁=-3，k₂=1，然后根据判别式的意义确定k的值．

解答：解：根据题意得x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2，
∵（x₁+1）（x₂+1）=8，
∴x₁x₂+x₁+x₂+1=8，
∴k²+2+2（k+1）+1=8，
整理得k²+2k-3=0，解得k₁=-3，k₂=1，
当k=-3时，原方程变形为x²+4x+11=0，△＜0，方程没有实数解，
∴k的值为1．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．