Question

在△ABC中，以BC为直径的圆分别交AC，AB于D，E两点，连接BD，DE，BD平分∠ABC，若AB=3，AE=1，则AC的值为

 

．

Answer 1

考点：切割线定理

专题：

分析：利用圆周角定理可得∠BDC=90°，再证明△ABD≌△CBD可得AB=CB，然后证明△ADE∽△ABC，可得出

AC

AE

=

BC

DE

=

2BC

2DE

=

2AB

AC

，进而得到AC²=2AB•AE，然后可得答案．

解答：解：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥AC；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，

∠ABD=∠CBD DB=DB ∠ADB=∠CDB

，
∴△ABD≌△CBD（ASA）
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形，AD=CD，
∵四边形BCDE是圆内接四边形，
∴∠AED=∠ACB=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等腰三角形，
∴AD=DE=CD，
∴

AC

AE

=

BC

DE

=

2BC

2DE

=

2AB

AC

，
∴AC²=2AB•AE，
∵AB=3，AE=1，
∴AC=

2×3×1

=

6

．
故答案为：

6

．

点评：此题主要考查了圆的性质，以及相似三角形的判定与性质，关键是正确证明△ADE∽△ABC．