Question

6．如图，长方形ABCO的顶点A、C、O都在坐标轴上，点B的坐标为（8，3），M为AB的中点．
（1）试求点M的坐标和△AOM的周长；
（2）若P是OC上的一个动点，它以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿射线CO方向匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
①若△POM的面积等于△AOM的面积的一半，试求t的值；
②是否存在某一时刻t，使△POM是等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据进行的性质确定点M的坐标，根据勾股定理求出OM的长，求出△AOM的周长；
（2）根据高相等的两个三角形的面积之比等于底的比求出OP的长即可；
（3）分MP=OM、OP=OM和OP=PM三种情况，结合图形、运用相似三角形的判定和性质解答即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCO是长方形，点B的坐标为（8，3），M为AB的中点，
∴点M的坐标为（4，3），
由勾股定理求得OM=5，
所以△AOM的周长为3+4+5=12；
（2）∵△POM的面积等于△AOM的面积的一半，
∴OP=$\frac{1}{2}$AM=2，
当点P在原点右侧时，OP=2，则CP=6，
∴t=6，
当点P在原点左侧时，OP=2，则CP=10，
∴t=10，
∴当t=6或t=10时，△POM的面积等于△AOM的面积的一半；
（3）当MP=OM时，点P与点C重合，t=0，
 当OP=OM时，OP=5，
当点P在原点右侧时，OP=5，则CP=3，
∴t=3，
当点P在原点左侧时，OP=5，则CP=13，
∴t=13，
当OP=PM时，如图，作PF⊥OM于F，ME⊥OC于E，
∵OP=PM，PF⊥OM，
∴OF=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{5}{2}$，
∵PF⊥OM，ME⊥OC，
∴△OFP∽△OEM，
∴$\frac{OP}{OM}$=$\frac{OF}{OE}$，
解得，OP=$\frac{25}{8}$，则CP=$\frac{39}{8}$，
∴t=$\frac{39}{8}$，
∴当t=0、5、13、$\frac{39}{8}$时，△POM是等腰三角形．

点评 本题考查的是矩形的性质、坐标与图形的关系以及等腰三角形的判定定理，灵活运用数形结合思想是解题的关键，注意相似三角形的判定和性质的应用．