Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,菱形的性质

专题：几何动点问题,压轴题,数形结合

分析：（1）由已知求出∠C=30°，列出y与x的函数关系式；
（2）由四边形AEFD为菱形，列出方程y=60-x与y=

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x组成方程组求x的值，
（3）当∠EDF=90°时，由△DEF是直角三角形，列出方程60-x=2y，与y=

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x组成方程组求x的值；当∠DEF=90°时，根据EF∥AC可知∠EDA=∠DEF=90°，所以当△ADE∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例可得出关于x的方程，再把y=

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x代入即可得出x的值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30，
∴∠C=30°，
∵CD=x，DF=y．
∴y=

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x；

（2）∵四边形AEFD为菱形，
∴AD=DF，
∴y=60-x
∴方程组

y= 1 2 x y=60-x

，
解得x=40，
∴当x=40时，四边形AEFD为菱形；

（3）当△DEF是直角三角形时，只能是∠EDF=90°，
∵∠FDE=90°，FE∥AC，
∴∠EFB=∠C=30°，
∵DF⊥BC，
∴∠DEF+∠DFE=∠EFB+∠DFE，
∴∠DEF=∠EFB=30°，
∴EF=2DF，
∴60-x=2y，
与y=

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x，组成方程组，得

2y=60-x y= 1 2 x

解得x=30；
∴当△DEF是直角三角形时，x=30．

点评：本题主要考查了含30°角的直角三角形与菱形的知识，解本题的关键是找出x与y的关系列方程组．