题目内容

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B、D重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．
（1）求AO的长；
（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：∠ACM=30°；
（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请画出图形，并直接写出△AFM的周长
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）在RT△OAB中，利用勾股定理OA=
AB2-OB2
求解．
（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，可得∠ACM=30°．
（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF=
AO2+FO2
=
52+42
=
41
，得出△AFM的周长为3
41
．
解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=
1
2
BD，
∵BD=24，
∴OB=12，
在Rt△OAB中，
∵AB=13，
∴OA=
AB2-OB2
=
132-122
=5．

（2）证明：如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
由已知AF=AM，∠MAF=60°，
∴△AFM为等边三角形，
∴∠M=∠AFM=60°，
∵点M，F，C三点在同一条直线上，
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，
∴∠FAC=∠FCA=30°，
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，
在Rt△ACM中，∠ACM=180°-90°-60°=30°．

（3）解：如图3，连接EM，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠EAB=60°，
由（1）知△AFM为等边三角形，
∴AM=AF，∠MAF=60°，
∴∠EAM=∠BAF，
在△AEM和△ABF中，
AE=AB
∠EAM=∠BAF
AM=AF
，
∴△AEM≌△ABF（SAS），
∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO
∴
1
2
BF•AO=40，BF=16，
∴FO=BF-BO=16-12=4，
AF=
AO2+FO2
=
52+42
=
41
，
∴△AFM的周长为3
41
．
点评：本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．
练习册系列答案
相关题目
光速约是3×105km/s，太阳系外一颗恒星发出的光需6年时间到达地球，若一年以3×107秒计算，这颗恒星与地球的距离是多少？
如图，△ABC是等边三角形，BD=AB，BD与AC交于点E，当点E在AC上运动时，∠ADC的大小是否发生变化？如果变化，请说明变化的范围，如果不变，请说明理由．
解方程-3x+5=2x-1时，移项正确的是（　　）
A、3x-2x=-1+5
B、-3x-2x=5-1
C、3x-2x=-1-5
D、-3x-2x=-1-5
某电信公司手机有A、B两类收费标准．A类收费标准如下，不管通话时间多长，每部手机每月必须缴纳月租费15元，两外，通话费按0.2元/min计算；B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.3元/min计．
（1）分别写出A、B两类收费标准中每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式；
（2）小明每月平均通话时间为200分钟，你认为他应该选择哪种收费标准？
（3）每月通话多长时间，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），对于下列命题：①b+2a=0②abc＜0③a-2b+4c＜0④8a+c＞0，其中正确的有（　　）
A、3个B、2个C、1个D、0个
已知a，b互为相反数，且ab≠0，c，d互为倒数，|m-1|=2，求代数式m99（a+b）2012-4cd+（
a
b
）2013+m的值．
已知关于x的二次函数y=x2+（2k-1）x+k2-1，若关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2-1=0的两根的平方和等于9，求k的值及抛物线的顶点坐标．
若n2+n-1=0，求n3+2n2+2008的值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网