Question

19．△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D为AB中点，P是AB上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）求证：DE=DF且DE⊥DF；
（2）若P是AB延长线上一点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，给予结论并画图证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得出∠A=∠DCF=45°，再利用SAS证明△AED与△DCF全等，进而得出答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠DCE=∠DBF，再利用SAS证明△DCE与△DBF全等，进而得出答案．

解答 证明：（1）连接CD，如图1：
∵△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D为AB中点，
∴CD=AD=DB，CD⊥AB，∠A=∠DCF=45°，
∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠C=90°，
∴PE=CF=AE，
在△AED与△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DCF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=90°，
∴DF⊥DE；
（2）连接CD，如图2：
∵△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D为AB中点，
∴CD=AD=DB，CD⊥AB，∠ABC=∠DCB=45°，
∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠C=90°，
∴PF=CE=BF，
∵∠DCE=90°+45°=135°，∠DBF=180°-45°=135°，
∴∠DCE=∠DBF，
在△DCE与△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=DB}\\{∠DCE=∠DBF}\\{CE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DBF（SAS），
∴DE=DF，∠CDE=∠BDF，
∵∠CDE+∠EDB=90°，
∴∠BDF+∠EDB=90°，
∴DF⊥DE．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△AED与△DCF全等．