Question

如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC与点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；
（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；
（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,平行线的性质

专题：

分析：（1）运用两三角形两底角相等得出等腰三角形；
（2）由等腰三角形两腰相等求解；
（3）由△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；
（4）由OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得出△BDO和△ECO是等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等得出△ODE的周长等于BC的长度．

解答：解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形．
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠CBO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO，
∴△DBO是等腰三角形，
同理△EOC是等腰三角形，
（2）∵BD=4、CE=3，
∴由（1）得出DO=4，EO=3，
∴DE=DO+OE=4+3=7，
（3）△ADE的周长=AD+DO+OE+AE；
∵DO=DB，OE=EC，
∴△ADE的周长=AB+AC，
∵AB=12、AC=9，
∴△ADE的周长=AB+AC=12+9=21，
（4）∵OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴△BDO和△ECO是等腰三角形，
∴BD=DO，CE=OE，
∵BC=16，
∴△ODE的周长为16．
即△ODE的周长等于BC的长度．

点评：本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等．