Question

某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W（万元），试求出利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？
（3）该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程．若除去捐款后，所获利润不低于450万元，请你确定此时销售单价的范围．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，再利用试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%得出x的取值范围即可；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润不低于450万元，求出x的取值范围．

解答：解：（1）由题意得：

63k+b=57 70k+b=50

，
解得：

k=-1 b=120

．
故y与x之间的函数关系式为：y=-x+120，
∵成本为每件60元的产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，
∴60≤x≤84；

（2）w=（x-60）（-x+120）=-x²+180x-7200=-（x-90）²+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
故当x=84时，w=（84-60）×（120-84）=864．
答：当销售价定为84元/件时，商家可以获得最大利润，最大利润是864元．

（3）∵该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程，
∴w=（x-60-5）（-x+120）=-x²+185x-7800，
当w=450，则450=-x²+185x-7800，
解得：x₁=75，x₂=110，
而60≤x≤84，
故74≤x≤84，
即所获利润不低于450万元，此时销售单价的范围是：74≤x≤84．

点评：本题考查了一次函数的应用以及用待定系数法求一次函数的综合应用和主要结合一次函数的性质，求出二次函数的最值问题；在本题中，还需注意的是自变量的取值范围，否则容易按照“顶点式”的做法，求出误解．