Question

8．如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．
（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为a²-b²．
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的长为a+b，宽为a-b，面积为（a+b）（a-b）．
（3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的公式（a+b）（a-b）=a²-b²．
（4）观察下列计算结果：
2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，2⁷=128，2⁸=256，…
用你发现的规律并结合（3）的公式，计算下面这个算式（用乘方的形式表示结果）并说出这个结果的个位数字．（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2¹⁶+1）+1．
个位数字是：6．

Answer 1

分析 （1）求出大正方形及小正方形的面积，作差即可得出阴影部分的面积；
（2）图2所示的长方形的长和宽分别为（a+b）、（a-b），由此可计算出面积；
（3）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式；
（4）观察得出规律，即可解答．

解答 解：（1）图中阴影部分的面积是：a²-b²，
（2）长是 （a+b），宽是：a-b，长方形的面积是：（a+b）（a-b），
（3）（a+b）（a-b）=a²-b²
（4）原式=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）…（2¹⁶+1）+1
=（2⁴-1）（2⁴+1）…（2¹⁶+1）+1
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）+1
=（2³²-1）+1
=2³²
∵观察规律发现个位数字4个一组循环，
∴32÷4=8，
∴个位数字是：6．

点评 本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是能根据面积公式求出各个部分的面积，题型较好，难度适中，是一道不错的题目，通过此题能培养学生的观察能力．