Question

如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，且AE=2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．
（1）求线段AD的长度；
（2）t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与DE相切？
（3）请你直接写出t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相交，所截得的弦长为

3

？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由在菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB，AE=2，可求得∠ADE=30°，继而可求得线段AD的长度；
（2）由在菱形ABCD中，∠BAD=60°，易求得∠1=∠2=∠3=∠4=30°，AD=DC=CB=BA=4，然后分别从①点P在AD上与AC相切时，②点P在DC上与AC相切时，③点P在BC上与AC相切时，④点P在AB上与AC相切时，去分析求解即可求得答案；
（3）首先分析可得当⊙P过点A与C时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相交，所截得的弦长为

3

，然后分别从点P在AD，DC，CB，BA上去分析求解，继而可求得答案．

解答：解：（1）∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB，AE=2，
∴∠ADE=90°-∠BAD=30°，
∴AD=2AE=4；

（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，AD=DC=CB=BA=4，
如图所示：
①点P在AD上与AC相切时，
连接P₁F，则P₁F⊥AC，P₁F=r，
∵∠1=30°，
∴AP₁=2r=2，
∴t₁=2；
②点P在DC上与AC相切时，CP₂=2r=2，
∴AD+DP₂=6，
∴t₂=6；
③点P在BC上与AC相切时，CP₃=2r=2，
∴AD+DC+CP₃=10，
∴t₃=10；
④点P在AB上与AC相切时，AP₄=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP₄=14，
∴t₄=14，
∴当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．

（3）如图2，⊙P过点A与点C，
过点P作PN⊥AC于点N，
∵PA=1，∠DAC=30°，
∴PN=

1

2

PA=

1

2

，
∴AN=

PA2-PN2

=

3

2

，
∴AM=2AN=

3

，
∴当⊙P过点A与C时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相交，所截得的弦长为

3

，
①当点P在AD上时，AP₁=1，
即t₁=1；
②当点P在DC上时，CP₂=1，
即t₂=AD+DC-CP₂=4+4-1=7；
③当点P在CB上时，CP₃=1，
即t₃=AD+DC+CP₃=4+4+1=9；
④当点P在BA上时，AP₄=1，
即t₄=AD+DC+BC+AB-AP₄=4+4+4+4-1=15；
∴当t=1、7、9、15时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相交，所截得的弦长为

3

．

点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、菱形的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．