Question

如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为A（4，0），与轴的交点为B，过A、B的直线为。

    （1）求二次函数的解析式及点B的坐标；

    （2）由图象写出满足的自变量的取值范围；

    （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得是以AB为底边的等腰三角形？若存在，

求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

解：

  （1）将A（4，0）代入得：

       ，解得：。

       ∴所求二次函数的解析式为：  …………………2分

       当时，故点B的坐标为：B（0，3）  ………………………………4分

   （2）满足的自变量x的取值范围是：或  ………………8分

   （3）存在。

        如图，作线段AB的垂直平分线l，垂足为C，分别交x轴和y于和，

        ∵A（4，0），B（0，3）

        ∴OA=4，OB=3

        ∴在RtAOB中，

        ∴

        ∵RtACP₁和RtAOB有公共角∠OAB

        ∴RtACP₁∽RtAOB

        ∴，即：，解得：

        而

        ∴点的坐标为：（，0） …………………………………………10分

        ∵RtP₂CB和RtAOB有公共角∠OBA

        ∴RtP₂CB∽RtAOB

        ∴，即：，解得：

        而

        ∴点的坐标为：（0，）

        ∴点P的坐标为：（，0），（0，） ……………………12分