Question

阅读下面材料：

小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．

小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．

请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ．

参考小辉思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．

Answer 1

90°；；EF=BE＋FD

【解析】

试题分析：（1）根据旋转图形可得∠FCA=∠B=45°，则∠FCE=90°，CF=BD=3，CE=1，根据△FCE的勾股定理求出EF的长度，即ED=EF；（2）将图形旋转可得DG=BE，AE=AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，根据（1）的方法证明△AEF和△AGF全等，得到EF=FG，根据FG=DG+FD，说明EF=BE+FD.

试题解析：90°；．

猜想：EF=BE＋FD；

理由如下：如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，

∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG，

∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上．∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，

即∠GAF＝∠EAF． 在△AEF和△AGF中，

∴△AEF≌△AGF， ∴EF＝FG． ∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋FD．

考点：旋转图形的性质、三角形全等的判定.