Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，直线l：y＝kx+2（k＜0）与x轴和y轴分别交于P，M两点．

（1）当直线与⊙O相切时，求出点M的坐标和点P的坐标；

（2）如图2，当点P在线段OA上时，直线1与⊙O交于E，F两点（点E在点F的上方）过点F作FC∥x轴，与⊙O交于另一点C，连结EC交y轴于点D．

①如图3，若点P与点A重合时，求OD的长并写出解答过程；

②如图2，若点P与点A不重合时，OD的长是否发生变化，若不发生变化，请求出OD的长并写出解答过程；若发生变化，请说明理由．

（3）如图4，在（2）的基础上，连结BF，将线段BF绕点B逆时针旋转90°到BQ，若点Q在CE的延长线时，请用等式直接表示线段FC，FQ之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①②OD的长度不变；（3）3FQ2＝4FC2+2FC

【解析】

（1）先根据题意求出A、B、M、P坐标（P坐标用k表示），由直线与⊙O相切，先设切点为N，则有ON⊥MP且ON＝1，因此∠MON可求，故利用三角函数可求OP的长，即求出P的坐标．

（2）①当P与A重合时，k值可求即直线l解析式确定，点F也与P、A重合，C在x轴上为（﹣1，0）．因为点E在直线l上且在⊙O上，可求出E坐标，故直线CE解析式可求，即求出CE与y轴交点D．

②要求OD的长即求D的坐标，解题思路与①相同，但由于P与A不重合，直线l和点E、F坐标不确定，可先设E、F坐标，利用直线l与点在⊙O的关系列得方程，得到点E、F横坐标之间的关系．用E、F横坐标表示的点C、E坐标代入求CE解析式，化简后即求出其与y轴交点纵坐标的值．

（3）在（2）的基础上有可直接使用．由旋转90°联想到构造三垂直全等模型，作QR垂直y轴，即能用F的坐标表示QR、BR等线段长度．又由FC∥QR得相似，对应边的比相等得到用F坐标表示的等式．利用F在⊙O上化简式子，并代入求FQ2，即能得到FQ2与FC的长度关系．

解：（1）∵半径为1的⊙O与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点

∴A（1，0），B（0，1），OA＝OB＝1

直线l：y＝kx+2（k＜0）中，当x＝0时，y＝2

∴点M坐标为（0，2），OM＝2

当kx+2＝0时，解得：

∴点P坐标为

设直线l与与⊙O相切于点N，

∴ON⊥MP，ON＝1

∴∠ONM＝∠ONP＝90°

∴Rt△OMN中，sin∠OMN＝

∴∠OMN＝30°

∴Rt△MOP中，tan∠OMP＝

∴ 解得：，

∴

∴点P坐标为

（2）①∵P与A重合，FC∥x轴

∴P（1，0），=1，点F与P、A重合

∴k＝﹣2，C（﹣1，0）

∴直线l：y＝﹣2x+2

∵点E在直线l上，且在⊙O上

∴设E（e，﹣2e+2），则有e2+（﹣2e+2）2＝1

解得：e1＝1（即为点A，舍去），，

∴

∴点E坐标为

设直线CE解析式为：y＝ax+b

∴ 解得：

∴直线CE与y轴交点

∴

②OD的长度不变．

设点（x，y）在⊙O上，则有x2+y2＝1

∴求直线l：y＝kx+2与⊙O的交点E、F，即求两方程的公共解

整理得：（1+k2）x2+4kx+3＝0

设E（e，ke+2），F（t，kt+2）

∴ ①，et②

∵FC∥x轴且C在⊙O上

∴C、F关于y轴对称，即C（﹣t，kt+2）

设直线CE解析式为：y＝ax+b

∴

③×e得：﹣aet+be＝ket+2e⑤

④×t得：aet+bt＝ket+2t⑥

⑤+⑥得：（e+t）b＝2ket+2（e+t）

∴

把①②式代入得：

∴即长度不变．

（3）过点Q作QR⊥y轴于R，设CF与y轴交点为S

∴∠BRQ＝∠FSB＝90°

∵线段BF绕点B逆时针旋转90°到BQ

∴∠FBQ＝90°，BQ＝BF，即△BFQ是等腰直角三角形

∴∠RBQ+∠SBF＝∠RBQ+∠RQB＝90°

∴∠RQB＝∠SBF

在△RQB与△SBF

∴△RQB≌△SBF（AAS）

∴RQ＝SB，BR＝SF

设F（t，s），C（﹣t，s）

则FC＝2t，RQ＝SB＝1﹣s，BR＝SF＝t

∵在（2）的基础上有

∴

∵CS∥RQ，C、D、Q在同一直线上

∴△CDS∽△QDR

∴

∴

整理得：2s2﹣2t2﹣3s﹣t+1＝0

∵点F（t，s）在⊙O上，满足s2+t2＝1，

代入整理得：

∵FQ2＝BF2+BQ2＝2BQ2＝2（BR2+RQ2）＝2[t2+（1﹣s）2]＝4﹣4s＝

FC＝2t，FC2＝4t2

∴3FQ2＝4FC2+2FC