Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x+3；（2）|MB﹣MC|取最大值为；（3）存在，点P（1，6）．

【解析】

（1）①将A（0，3），C（-3，0）代入y=x2+bx+c，即可求解；

（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；

（3）分当时、当时两种情况，分别求解即可．

（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，

得，

解得，

∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；

（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，

∵A （0，3），

∴B（﹣4，1）

①当点B、C、M三点不共线时，

|MB﹣MC|＜BC，

②当点B、C、M三点共线时，

|MB﹣MC|＝BC，

∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，

过点B作x轴于点E，

在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，

∴|MB﹣MC|取最大值为；

（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）

在Rt△BEC中，

∵BE＝CE＝1，

∴∠BCE＝45°，

在Rt△ACO中，

∵AO＝CO＝3，

∴∠ACO＝45°，

∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，

过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，过点P作PQ⊥y轴于点G，

∵∠PQA＝∠APQ＝90°

∠PAG＝∠QAP，

∴△PGA∽△QPA

∵∠PGA＝∠ACB＝90°

∴①当时，

△PAG∽△BAC，

∴，

解得x1＝1，x2＝0，（舍去）

∴点P的纵坐标为×12+×1+3＝6，

∴点P为（1，6）；

②当时，

△PAG∽△ABC，

∴，

解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），

∴此时无符合条件的点P

综上所述，存在点P（1，6）．