Question

11．如图，已知一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求点A，B两点的坐标．
（2）点M为一次函数y=x+3的图象上一点，若△ABM与△ABO的面积相等，求点M的坐标．
（3）点Q为y轴上的一点，若△ABQ为等腰三角形，请直接写出Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）对于直线y=-$\frac{1}{2}$x+3，令x=0得到y=3，令=0得到x=6，可得A（6，0），B（0，3）．
（2）如图1中，作OM∥AB交直线y=x+3于M，求出直线OM的解析式，利用方程组可得点M的坐标，再利用中线的性质求出M′的坐标即可．
（3）分种情形分别讨论即可解决问题．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{1}{2}$x+3，令x=0得到y=3，令=0得到x=6，
∴A（6，0），B（0，3）．

（2）如图1中，作OM∥AB交直线y=x+3于M，

∵OM∥AB，
∴S_△ABM=S_△ABO，
∵直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴直线OM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（-2，1）．
当BM=BM′时，△ABM′与△ABM的面积相等，此时M′（2，5），
∴满足条件的点M的坐标为（-2，1）或（2，5）．

（3）如图2中，

在Rt△ABO中，AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
当BA=BQ时，点Q的坐标为（0，3+3$\sqrt{5}$）或（0，3-3$\sqrt{5}$），
当AB=AQ时，点Q的坐标为（0，-3），
当QB=QA时，设QA=QB=a，在Rt△AOQ中，∵OA²+OQ²=AQ²，
∴（a-3）²+6²=a²，
解得a=$\frac{15}{2}$，
∴OQ=BQ-OB=$\frac{9}{2}$，
∴点Q的坐标为（0，-$\frac{9}{2}$）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3+3$\sqrt{5}$）或（0，3-3$\sqrt{5}$）或（0，-3）或（0，-$\frac{9}{2}$）．

点评 本题考查一次函数综合题、三角形的面积、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，今天的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．