Question

已知菱形ABCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F．
（1）求证：AG²=GE•GF；
（2）如果DG=

1

2

GB，且AG⊥BF，求cosF．

Answer 1

考点：菱形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用菱形的性质易证△ADG≌△CDG，由全等三角形的性质可得：∠DAG=∠DCG，再根据菱形的性质可得∠F=∠DCG=∠DAG，所以△GAE∽△GFA，由相似三角形的性质即可证明AG²=GE•GF；
（2）易证△DAG∽△DBA，由相似三角形的性质可得AD²=DG•BD，再利用已知条件可证明∠ABD=∠DAG=∠F，进而可得到cosF=cos∠ABG的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD，∠CDG=∠ADG，
在△ADG和△CDG中，

AD=CD ∠CDG=∠ADG DG=DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG，
∵BF∥CD，
∴∠F=∠DCG=∠DAG，
∴△GAE∽△GFA，
∴AG²=GE•GF；
（2）∵BF∥CD，DG=

1

2

GB，
∴

CD

BF

=

DG

BG

=

1

2

，
∴BF=2CD=16，AF=8，
∴∠ABD=∠DAG=∠F，
∴△DAG∽△DBA，
∴AD²=DG•BD，
∴DG=

8 3

3

，BG=

16 3

3

，
∴cosF=cos∠ABG=

AB

AG

=

3

2

．

点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定及性质，是一道不错的综合题，题目的难度不小．