Question

6．如图：在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=-$\frac{1}{x}$、y=$\frac{2}{x}$的图象交于B、A两点，则tanA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先证明△BOM∽△OAN，得到$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$，设B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{2}{n}$），得到BM=$\frac{1}{m}$，AN=$\frac{2}{n}$，OM=m，ON=n，进而得到mn=$\frac{2}{mn}$，mn=$\sqrt{2}$，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可解决问题．

解答 解：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴；

∵∠AOB=90°，
∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BOM=∠OAN，
∵∠BMO=∠ANO=90°，
∴△BOM∽△OAN，
∴$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$；
设B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{2}{n}$），
则BM=$\frac{1}{m}$，AN=$\frac{2}{n}$，OM=m，ON=n，
∴mn=$\frac{2}{mn}$，mn=$\sqrt{2}$；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$①；
∵△BOM∽△OAN，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{BM}{ON}$=$\frac{1}{mn}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，
由①②知tan∠OAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．