Question

13．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）请判断以B、C、D为顶点的三角形的形状；
（3）若点Q是y轴上的动点，在抛物线上是否存在点P使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入函数解析式列方程组求解即可求得系数b、c，把一般式变形为顶点式可求得顶点坐标；
（2）求出线段BC、BD、CD的长，判断△BCD的形状；
（3）分别从当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可以及当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，分别求出即可．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）两点代入y=x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=-2，c=-3，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点D的坐标为（1，-4）；
（2）如图1，连接BC、CD、BD，DM⊥x轴，DN⊥y轴，垂足分别为M、N，
∵y=x²-2x-3与y轴的交点C（O，-3），A（-1，0）、B（3，0），D（1，4），
∴BC=$\sqrt{{3}^{2+}{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{{1}^{2+}{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵（3$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=（2$\sqrt{5}$）²
∴BC²+CD²=BD²
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图2，
①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为-4或4，
当x=-4时，y=21；当x=4时，y=5；
所以此时点P₁的坐标为（-4，21），P₂的坐标为（4，5）；
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，
过点P₃作x轴的垂线交于点H，
可证得△P₃HB≌△Q₃OA，
∴AO=BH，
∴GO=GH，
∵线段AB的中点G的横坐标为1，
∴此时点P横坐标为2，
由此当x=2时，y=-3，
∴这是有符合条件的点P₃（2，-3），
∴所以符合条件的点为：P₁的坐标为（-4，21），P₂的坐标为（4，5）；P₃（2，-3）．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．