Question

13．角平分线上的点到角两边的距离相等．这一性质在解决图形面积问题时有何妙用呢？阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，三条角平分线的交点O到三边的距离为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$AC•r+$\frac{1}{2}$AB•r=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r，∴r=$\frac{2S}{a+b+c}$
（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD的四条角平分线交于O点，如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求点O到四边的距离r；
（2）理解应用：如图（3），在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=BC=13，对角线BD=20，点O₁与O₂分别为△ABD与△BCD的三条角平分线的交点，设它们到各自三角形三边的距离为r₁和r₂，求$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得；
（2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果．但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点D作AB垂线，进一步易得BD的长，则r₁、r₂、$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$易得．

解答 解：（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，
∵S=S_△AOB+S_△BOC+S_△COD+S_△AOD=$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$br+$\frac{1}{2}$cr+$\frac{1}{2}$dr=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，
∴r=$\frac{2S}{a+b+c+d}$；
 
（2）∵AB∥CD，
∴S_△ABD：S_△BCD=AB：CD=21：11；
∵r₁=$\frac{2{S}_{△ABD}}{AB+BD+AD}$=$\frac{2{S}_{△ABD}}{54}$，
r₂=$\frac{2{S}_{△CDB}}{CD+CB+DB}$=$\frac{2{S}_{△CDB}}{44}$，
∴$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{{S}_{△ABD}}{27}$：$\frac{{S}_{△BCD}}{22}$=$\frac{{S}_{△ABD}}{27}$×$\frac{22}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{21×22}{27×11}$=$\frac{14}{9}$．

点评 本题考查了角平分线的定义，三角形面积计算以及等腰梯形等相关知识的综合应用，这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养．