Question

19．已知△ABC的内接矩形EFGH的两个顶点E、F在BC边上，另外两个顶点H、G分别在AB、AC边上．
（1）设BC=12cm，高AD为h cm，GF=x cm，GH=y cm，求y关于x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，当高h=8cm时，要使矩形EFGH的GH边大于4cm，求GF的取值范围；
（3）在（1）、（2）的条件下，要使矩形EFGH的面积最大，则此矩形两边长分别是多少？

Answer 1

分析 （1）由四边形HEFG是矩形，得到HG∥BC，推出△AHG∽△ABC，得到比例式，代入数据即可得到结论；
（2）把h=8cm，GH＞4，代入y=-$\frac{12x}{h}$+12；得到不等式-$\frac{12x}{8}+12＞4$，解不等式即可得到结果；
（3）根据矩形的面积公式列方程，于是得到结论．

解答 解：（1）∵四边形HEFG是矩形，
∴HG∥EF，
∴HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{HG}{BC}$=$\frac{AD-GF}{AD}$，
即$\frac{y}{12}=\frac{h-x}{h}$，
∴y=-$\frac{12x}{h}$+12；

（2）∵h=8cm，GH＞4，
∴-$\frac{12x}{8}+12＞4$，
解得x＜$\frac{16}{3}$，
∴GF的取值范围为：0＜GF＜$\frac{16}{3}$；

（3）∵S_矩形EFGH=GH•GF=xy=（-$\frac{12x}{h}$+12）•x=-$\frac{3}{2}$x²+12x=-$\frac{3}{2}$（x-4）²+24，
∴要使矩形EFGH的面积最大，则此矩形两边长分别是4cm，6cm．

点评 本题考查的是相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．