题目内容
如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，∠ABC的平分线交AD、AC于E、F，点P是BF延长线上一点，且∠APB=45°，连接PC；以下结论：①CF=2DE；②BE=
PE；③AE•CF=
AP•EF；④BF•PB+CF•AC=
AB2．其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．①③④
C．①②③
D．①②③④
【答案】分析：首先过点F作FG⊥BC于G，由题意易得△ABD，△ACD，△CFG是等腰直角三角形，△AEF与△APE是等腰三角形，然后由△ABF∽△DBE，可求得①正确；再过点P作PH⊥AD于H，由等腰三角形的性质与平行线分线段成比例定理，可求得②正确；又由△ABP∽△FBC，可证得③正确；由△ABP∽△FBC，可得BF•PB=AB•BC=
AB2，由CF=
FG=
AF，可得CF•AC=（2-
）AB2，继而可求得BF•PB+CF•AC=2AB2．
解答：解：过点F作FG⊥BC于G，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD是高，EF是∠ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ABF=∠CBF=
∠ABC=22.5°，FG=FA，
∴△ABD、△ACD与△CFG是等腰直角三角形，
∴AD=BD=CD，
∵∠ABF=∠CBF，∠BAF=∠BDE=90°，
∴△ABF∽△DBE，
∴AF：DE=AB：BD=
，
∴AF=
DE，
∴FG=
DE，
∵CF=
FG=
×
DE=2DE，
故①正确；
过点P作PH⊥AD于H，
∵∠APB=45°，∠EAF=45°，∠AEP=∠BED=90°-∠CBF=67.5°，
∴∠PAE=180°-∠APB-∠AEP=67.5°，∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=67.5°，
∴∠PAE=∠AEP，∠EAF=∠AEF，
∴PA=PE，AE=AF，
∴AH=HE，
∴AE=FG=
DE，
∴HE=
DE，
∵∠PHD=∠BDH=90°，
∴PH∥BD，
∴PE：BE=EH：ED=
：2，
∴BE=
PE；
故②正确；
∵∠EAF=∠APB，∠AEF=∠AEP，
∴△AEF∽△PEA，
∴AP：AE=AE：EF，
∴AE2=AP•EF，
∵CF=
FG=
AE，
∴AE•CF=
AE2=
AP•EF；
故③正确；
∵∠ABP=∠CBP，∠APB=∠ACB=45°，
∴△ABP∽△FBC，
∴AB：BF=PB：BC，
∴AB•BC=BF•PB，
∵BC=
AB，
∴BF•PB=AB•BC=
AB2，
∵CF=
FG=
AF，
∴CF=
AC=（2-
）AC，
∴CF•AC=（2-
）AC•AC=（2-
）AB2，
∴BF•PB+CF•AC=
AB2+（2-
）AB2=2AB2．
故④错误．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．
AB2，由CF=FG=AF，可得CF•AC=（2-）AB2，继而可求得BF•PB+CF•AC=2AB2．解答：解：过点F作FG⊥BC于G，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD是高，EF是∠ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ABF=∠CBF=
∠ABC=22.5°，FG=FA，∴△ABD、△ACD与△CFG是等腰直角三角形，
∴AD=BD=CD，
∵∠ABF=∠CBF，∠BAF=∠BDE=90°，
∴△ABF∽△DBE，
∴AF：DE=AB：BD=
，∴AF=
DE，∴FG=
DE，∵CF=
FG=×DE=2DE，故①正确；
过点P作PH⊥AD于H，
∵∠APB=45°，∠EAF=45°，∠AEP=∠BED=90°-∠CBF=67.5°，
∴∠PAE=180°-∠APB-∠AEP=67.5°，∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=67.5°，
∴∠PAE=∠AEP，∠EAF=∠AEF，
∴PA=PE，AE=AF，
∴AH=HE，
∴AE=FG=
DE，∴HE=
DE，∵∠PHD=∠BDH=90°，
∴PH∥BD，
∴PE：BE=EH：ED=
：2，∴BE=
PE；故②正确；
∵∠EAF=∠APB，∠AEF=∠AEP，
∴△AEF∽△PEA，
∴AP：AE=AE：EF，
∴AE2=AP•EF，
∵CF=
FG=AE，∴AE•CF=
AE2=AP•EF；故③正确；
∵∠ABP=∠CBP，∠APB=∠ACB=45°，
∴△ABP∽△FBC，
∴AB：BF=PB：BC，
∴AB•BC=BF•PB，
∵BC=
AB，∴BF•PB=AB•BC=
AB2，∵CF=
FG=AF，∴CF=
AC=（2-）AC，∴CF•AC=（2-
）AC•AC=（2-）AB2，∴BF•PB+CF•AC=
AB2+（2-）AB2=2AB2．故④错误．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．
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