Question

如图1，矩形ABCD中，BC≥CD，点E是BC边上一点，且BE=CD，点F是射线DC上一点，且DF=CE，直线BF、DE相交于点M
（1）如图2，若BC=CD，直接写出∠BME的度数；
（2）若BC＞CD，求∠BME的度数．

Answer 1

分析：（1）得出矩形ABCD是正方形，根据正方形性质求出即可．
（2）①当F在DC上时，在AB上截取BN=DF，连接NE，DN，证△NBE≌△ECD，推出∠BEN=∠CDE，求出∠DEN=90°，得出等腰直角三角形NED，求出∠NDE=45°，得出四边形BNDF是平行四边形，根据平行线的性质推出∠BME=∠NDE=45°，②当F在DC延长线上时，在BA延长线上取一点N，使BN=DF，连接ND，NE，
同①求出∠DMF=∠NDE=45°即可．

解答：解：（1）图1中，∵四边形ABCD是矩形，BC=CD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=

1

2

∠ADC=45°，
即∠BME=45°．

（2）①当F在DC上时，如图
在AB上截取BN=DF，连接NE，DN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵BE=CD，BN=DF=CE，
∴在△NBE和△ECD中

BN=CE ∠NBE=∠C BE=CD

∴△NBE≌△ECD，
∴∠BEN=∠CDE，EN=ED，
∵∠C=90°，
∴∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠BEN+∠DEC=90°，
∴∠DEN=180°-90°=90°，
∵EN=ED，
∴∠NDE=45°，
∵BN=DF，BN∥DF，
∴四边形BNDF是平行四边形，
∴ND∥BF，
∴∠BME=∠NDE=45°；
②当F在DC延长线上时，如图
在BA延长线上取一点N，使BN=DF，连接ND，NE，
同①求法类似，求出∠DMF=∠NDE=45°，
∴∠BME=135°，
∴当BC＞CD时，∠BME的度数为45°或135°．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的应用，综合性比较强，难度偏大．