Question

阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足

 

关系时，仍有EF=BE+DF；
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证得△AFE≌△AFG，由∠B+∠D=180°时，得出EF=BE+DF，
（2）把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．通过证明△AEG≌△AED得到：DE=EG．结合
CG=BD，利用勾股定理推知BD²+EC²=DE²．则易求DE=

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解答：解：（1）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；
如图，

∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，

AE=AG ∠FAE=∠FAG AF=AF

，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF．
        
（2）如图，

∵AB=AC，
∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．
∠B=∠ACG，
BD=CG，
AD=AG 
∵△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°．
即∠ECG=90°．
∴EC²+CG²=EG²．
在△AEG与△AED中，
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．
又∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED． 
∴DE=EG．
又∵CG=BD，
∴BD²+EC²=DE²．
∴DE=

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点评：此题主要考查了正方形的性质，基本几何变换，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，注意理解解题的思路，把方法进一步推广得出结论．