Question

10．如图，直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．

Answer 1

分析 由直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，易得OC=2，OB=4，再分两种情况①当∠OBC=∠COP时，△OCP与△OBC相似，②当∠OBC=∠CPO时，△OCP与△OBC相似分别求出点的坐标，再求出过点P的双曲线解析式．

解答 解：∵直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，
∴令y=0，可得-2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，
令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，
①如图1，当∠OBC=∠COP时，△OCP∽△BOC，

∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OC}{CP}$，即$\frac{4}{2}$=$\frac{2}{CP}$，解得CP=1，
∴P（2，-1），
设过点P的双曲线解析式y=$\frac{k}{x}$，把P点代入解得k=-2，
∴过点P的双曲线解析式y=-$\frac{2}{x}$，
②如图2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP∽△COB，

在△OCP和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠CPO}\\{∠COB=∠OCP}\\{OC=CO}\end{array}\right.$
∴△OCP≌△COB（AAS）
∴CP=BO=4，
∴P（2，-4）
设过点P的双曲线解析式y=$\frac{k}{x}$，把P点代入得-4=$\frac{k}{2}$，解得k=-8，
∴过点P的双曲线解析式y=$\frac{-8}{x}$．
综上可得，过点P的双曲线的解析式为y=-$\frac{2}{x}$或y=$\frac{-8}{x}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数求反比例函数，解题的关键是分两种情况正确画出图形．