Question

（1）如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
①求∠ABD 的度数；     ②求线段BE的长．
（2）已知：如图2，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．
求证：∠ACE=∠DBF．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①证明△ABD为等边三角形，即可解决问题；
②求出BO的长度，运用直角三角形的边角关系即可解决问题．
（2）证明△AEC≌△DFB，即可解决问题．

解答：解：（1）①如图1，∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD；而∠A=60°，AB=4，
∴△ABD为等边三角形，且BD=AB=4；
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°．
②∵O为对角线BD的中点，
∴BO=DO=2；
∵OE⊥AB，∠EBO=90°，
∴sin60°=

OE

OB

，OE=

3

，BE=1．
（2）如图2，
∵AB=DC，
∴AC=BD；而EA⊥AD，FD⊥AD，
∴∠A=∠D；
在△AEC与△DFB中，

AE=DF ∠A=∠D AC=BD

，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴∠ACE=∠DBF．

点评：该题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题；牢固掌握全等三角形的判定、菱形的性质是关键．