Question

6．如图，直线y=$\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向终点B运动，同时动点Q从点O出发，以每秒0.8个单位的速度沿OA向终点A运动，过点Q作直线AB的平行线交y轴于点C，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．
（1）问在运动过程中，四边形APCQ是何种特殊的四边形？并证明你的结论．
（2）当t为何值时，四边形APCQ是菱形？

Answer 1

分析 （1）用t可表示出Q点的坐标，可求得直线CQ的解析式，则可求得C点坐标，由勾股定理可求得CQ=AP=t，可证得四边形APCQ为平行四边形；
（2）由菱形的性质可得AP=AQ，可得到关于t的方程，可求得t的值．

解答 解：
（1）四边形APCQ是平行四边形． 
证明如下：
由题意可知AP=t，OQ=0.8t，
∴Q（-0.8t，0），
∵AB∥CQ，
∴可设直线CQ解析式为y=$\frac{3}{4}$x+b，
把Q点坐标代入可得0=$\frac{3}{4}$×（-0.8t）+b，解得b=0.6t，
∴直线CQ的解析式y=$\frac{3}{4}$x+0.6t，
∴OC=0.6t，
在Rt△COQ中，由勾股定理可得CQ=t=AP，且CQ∥AP，
∴四边形APCQ是平行四边形；

（2）由（1）可知OQ=0.8t，且OA=4，
∴AQ=OA-OQ=4-0.8t，
当四边形APCQ为菱形时，则有AQ=AP，
∴t=4-0.8t，解得t=$\frac{20}{9}$，
即当t的值为$\frac{20}{9}$时，四边形APCQ为菱形．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的特征、平行四边形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识．在（1）中求得CQ的长是解题的关键，注意平行线的特征，在（2）中利用菱形的性质得到关于t的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大，较易得分．