Question

3．将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A₁、A₂、…、A_N分别是正方形的中心，则2016个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为2015．

Answer 1

分析 根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的$\frac{1}{4}$，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）阴影部分的和．

解答 解：作A₁E⊥A₂E，A₁F⊥A₂H．
则∠FA₁E=∠HA₁G=90°，
∴∠FA₁H=∠GA₁E，
在△A₁HF和△A₁GE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F{A}_{1}H=∠G{A}_{1}E}\\{{A}_{1}F={A}_{1}E}\\{∠{A}_{1}FH=∠{A}_{1}EG}\end{array}\right.$，
∴△A₁HF≌△A₁GE，
∴四边形A₂HA₁G的面积=四边形A₁EA₂F的面积=$\frac{1}{4}$×4=1，
同理，各个重合部分的面积都是1，
则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为1×（n-1）=n-1（cm²），
∴2016个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：2016-1=2015（cm²），
故答案为：2015．

点评 本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．