Question

5．观察下列每对数在数轴上对应点间的距离：4与-2，3与5，-2与-6，-4与3．如：4与-2对应点间的距离是|4-（-2）|=6；3与5对应点间的距离是|3-5|=2．
回答下列问题：
（1）若数轴上A、B两点分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离是多少？（用含a、b的式子表示）
答：|b-a|；
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为-1，则A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；
（3）结合数轴可得|x-2|+|x+3|的最小值为5；
（4）若关于x的方程|x-1|+|x+1|+|x-5|=a无解，则a的取值范围是a＜6．

Answer 1

分析 （1）直接借助数轴可以得出；
（2）结合数轴，分三种情况进行讨论．当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x＜0时，距离为x+1，当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；
（3）|x-2|即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离．|x+3|=|x-（-3）|即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离． 借助数轴，我们可以得到正确答案；
（4）分情况讨论：①当x≥5时，②当1≤x＜5时，③当-1≤x＜1时，④当x＜-1时，分别得出f（x）的取值范围，进而确定f（x）的取值范围，从而得出a的值．

解答 解：（1）由观察可知：A、B两点间的距离是|b-a|；
（2）结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．

当x＜-1时，距离为-x-1，

当-1＜x＜0时，距离为x+1，

当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；
（3）当x＜-3时，|x-2|+|x+3|=2-x-（3+x）=-2x-1，此时最小值大于5；
当-3≤x≤2时，|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5；
当x＞2时，|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1，此时最小值大于5；
所以|x-2|+|x+3|的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2；
（4）先求f（x）=|x-1|+|x+1|+|x-5|的值域：
当x≥5时，f（x）=x-1+x+1+x-5=3x-5≥10，
当1≤x＜5时，f（x）=x-1+x+1+5-x=x+5，此时值域为[6，10），
当-1≤x＜1时，f（x）=1-x+x+1+5-x=7-x，此时值域为（6，8]，
当x＜-1时，f（x）=1-x-x-1+5-x=5-3x＞8，此时值域为（8，+∞），
所以f（x）的值域为：f（x）≥6．
即：|x-1|+|x+1|+|x-5|≥6，
因为|x-1|+|x+1|+|x-5|=a无解，
所以a＜6．
故答案为：（1）|b-a|；（2）|x+1|；（3）5；（4）a＜6．

点评 此题考查了数轴的有关知识，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．