Question

14．如图，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若AB=2，BC=3，∠A=120°，求BP的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF=CD=DE，可证得结论；
（2）过P作PG⊥BC于G，在Rt△PGC中可求得PG和CG的长，则可求得BG的长，在Rt△BPG中，由勾股定理可求得BP的长．

解答 （1）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF=∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠EDF=∠CDF，
∴∠DFC=∠CDF，
∴CD=CF，
∴四边形CDEF为平行四边形，
同理可得CD=DE，
∴四边形CDEF为菱形；
（2）解：
如图，过P作PG⊥BC于G，

∵AB=2，BC=3，∠A=120°，且四边形CDEF为菱形，
∴CF=EF=CD=AB=2，∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}$∠A=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=2，
∴PC=$\frac{1}{2}$CE=1，
∴CG=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$，PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BG=BC-CG=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
在Rt△BPG中，由勾股定理可得BP=$\sqrt{B{G}^{2}+P{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
即BP的值为$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查平行四边形的性质及菱形的判定和性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键，在求BP的值时注意构造直角三角形．