Question

如图，直线l₁：y=x+4交x轴于A，直线l₂：y=-x+2与y轴交于B，直线y=-

1

2

x+b与l₁交于M，与l₂交于N（N与B不重合）相交于N，△OBN，△OAM的面积分别为S₁，S₂．
（1）若0≤b≤1，求s₁关于b的函数关系式与最大值；
（2）若M的纵坐标＞

4

3

，且S₁＜S₂，求b的取值范围．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：计算题

分析：（1）根据两直线相交的问题组成方程组

y=-x+2 y=- 1 2 x+b

，消去y得-x+2=-

1

2

x+b，解得x=4-2b，则N点的横坐标为4-2b，再得到点B的坐标为（0，2），则根据三角形面积公式得S₁=|4-2b|，由于0≤b≤1，则去绝对值得S₁=4-2b，然后根据已次函数的性质确定最大值；
（2）与（1）一样可得到M的纵坐标为

2b+4

3

，而点M的纵坐标大于

4

3

，则b＞0，再确定点A的坐标为（-4，0），根据三角形面积公式得到S₂=

4b+8

3

，而b≠2，S₁＜S₂，分类讨论：当0＜b＜2时，4-2b＜

4b+8

3

，解得b＞

2

5

，即

2

5

＜b＜2；当b＞2时，2b-4＜

4b+8

3

，解得b＜10，即2＜b＜10．

解答：解：（1）由

y=-x+2 y=- 1 2 x+b

得-x+2=-

1

2

x+b，解得x=4-2b，即N点的横坐标为4-2b，
把x=0代入y=-x+2得y=2，则点B的坐标为（0，2），
S₁=

1

2

×2×|4-2b|=|4-2b|，
∵0≤b≤1，
∴S₁关于b的函数关系式为S₁=4-2b，
∵-2＜0，
∴S₁随着b的增大而减小，
∴当b=0时，S₁取最大值4；
（2）由

y=x+4 y=- 1 2 x+b

得y=

2b+4

3

，即M的纵坐标为

2b+4

3

，
∵点M的纵坐标大于

4

3

，
∴2b+4＞4，
∴b＞0，
把y=0代入y=x+4得x+4=0，解得x=-4，则点A的坐标为（-4，0），
∴S₂=

1

2

×4×

2b+4

3

=

4b+8

3

，
∵点N不与B重合，
∴b≠2，
∵S₁＜S₂，
∴当0＜b＜2时，4-2b＜

4b+8

3

，解得b＞

2

5

，
∴

2

5

＜b＜2；
当b＞2时，2b-4＜

4b+8

3

，解得b＜10．
∴2＜b＜10．
∴b的取值范围为

2

5

＜b＜2或2＜b＜10．

点评：本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．