Question

9．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．若CD=2，则BD的长为2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠COD=2∠A，求出∠D=∠COD，根据切线性质求出∠OCD=90°，求出OC=CD=2，根据勾股定理求出BD即可．

解答 解：∵OA=OC
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∵∠D=2∠A，
∴∠D=∠COD，
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=∠COD=45°
∵CD=2，
∴OC=OB=CD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：2²+2²=（2+BD）²，
解得：BD=2$\sqrt{2}$-2．
故答案为：2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理能力．