Question

（1）解方程：x²+3x+1=0
（2）已知方程x²-4x+m=0的一个根为-2，求方程的另一个根及m的值．
（3）已知如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，且AB=AD，AE⊥BC垂足为E，若AE=2

3

，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,解一元二次方程-公式法,根与系数的关系,勾股定理

专题：

分析：（1）运用求根公式法就可以直接求出方程的解；
（2）先把x=2代入原方程求出m的值，再解出方程就可以求出另一根；
（3）作AM⊥CD的延长线于点M，就可以得出四边形AECM是矩形，△AEB≌△AMD，就可以得出AM=AE．由矩形的性质就可以求出矩形AECM的面积从而得出结论．

解答：解：（1）∵x²+3x+1=0，
∴a=1，b=3，c=1，
∴b²-4ac=9-4=5＞0，
∴x=

-3± 5

2

，
∴x1=

-3+ 5

2

，x₂=

-3- 5

2

；
（2）∵-2是x²-4x+m=0的一个根，
∴4+8+m=0，
∴m=-12，
∴x²-4x-12=0，
∴（x-6）（x+2）=0，
∴x₁=6，x₂=-2．
∴另一根为6，m=-12．
（3）作AM⊥CD的延长线于点M，
∴∠M=90°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AEB=90°．
∴∠AEB=∠M．
∵∠C=90°，
∴∠C=∠AEC=∠M=90°，
∴四边形AECM是矩形，
∴∠MAE=90°，
∴∠EAD+∠MAD=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠DAM．
在△AEB和△AMD中，

∠AEB=∠M ∠BAE=∠DAM AB=AD

，
∴△AEB≌△AMD（AAS），
∴S_△AEB=S_△AMD，AM=AE．
∵AE=2

3

，
∴AM=2

3

．
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABE+S_{四边形AECD}，
∴S_{四边形ABCD}=S_△AMD+S_{四边形AECD}，
∴S_{四边形ABCD}=S_矩形AECM=2

3

×2

3

=12．
答：四边形ABCD的面积为12．

点评：本题考查了公式法解一元二次方程的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．