Question

15．如图：△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：
（1）BD=DF．
（2）△ADE的周长等于AB+AC．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质，可得∠ABF与∠FBC的关系，∠ACF与∠FCB的关系，根据平行线的性质，可得∠FBC与∠BFD的关系，∠FCB与∠EFC的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根据等量代换，可得答案．

解答 证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，
∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．
∵DE∥BC，
∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF；
（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．
∵DE=DF+EF，
∴DE=BD+CE，
∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．