Question

13．若实数a使得对于每一个实数z，关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+ay=2z}\\{xy=2{z}^{2}+3z+1}\end{array}\right.$总有实数解，则a的取值范围是-4≤a≤0．

Answer 1

分析 把方程组进行转化为为$\left\{\begin{array}{l}{x+ay=2z}\\{x•ay=a（2{z}^{2}+3z+1）}\end{array}\right.$，把x，ay看成方程a²-2za+a（2z²+3z+1）=0的两根，利用根的判别式△≥0，根据二次函数的性质得到不等式组，求出不等式组的解集，即可解答．

解答 解：把原方程组化为$\left\{\begin{array}{l}{x+ay=2z}\\{x•ay=a（2{z}^{2}+3z+1）}\end{array}\right.$，
把x，ay看方程a²-2za+a（2z²+3z+1）=0的两根，
∵x，ay都是实根，
∴△=4z²-4a（2z²+3z+1）≥0，
z²-2az²-3az-a≥0，
（1-2a）z²-3az-a≥0
根据二次函数的性质，可得：$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＞0}\\{9{a}^{2}+4a（1-2a）＜0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{2}}\\{-4＜a＜0}\end{array}\right.$，
∴-4＜a＜0．

点评 本题考查了二元一次方程组的解、一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，解集本题的关键是利用根的判别式得到不等式组．