Question

如图1，⊙P的直径AB的长为16，E为半圆的中点，F为劣弧

EB

上的一动点，EF和AB的延长线交于点C，过点C作AB的垂线交AF的延长线于点D；
（1）求证：BC=DC；
（2）以直线AB为x轴，线段PB的中垂线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系xO_y，则点B的坐标为（4，0），设点D的坐标为（m，n）若m，n是方程x²+px+p+8=0的两根，求P的值；
（3）在（2）中的坐标系中，直线y=kx+8上存在点H，使△ABH为直角三角形，若这样的H点有且只有两个，请直接写出符合条件的k的值或取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）若求BC=DC，连接BD是显然的，然后再讨论∠BDC和∠DBC，而发现这两个角都在圆外，而外部也无复杂图象套含它们，所以常规作法显然不好处理．故想到把它们也放在圆中，连接BF发现BF⊥FD，BC⊥CD，则若以BD为直径画圆，其圆必过F、C两点，则利用圆周角、对顶角性质可证∠BDC恰与劣弧

AE

的圆周角相等，因为E为中点，显然为45°，则结论易证．
（2）综合题，后问往往要用前问的结论，前问中BC=DC，本题利用可求出D（m，n）中，m与n的关系．在利用根与系数的关系列出方程即可讨论p，但要注意还有讨论两根存在的前提△＞0．
（3）直线y=kx+8是一个恒过（0，8）的直线，其中k决定着倾斜角度，而若使△ABH为直角三角形，H点还要在以AB为直径的圆上．作圆过（0，8）的两条切线易知，直线在其中旋转时交点都有两个，则讨论这两个特殊情况下的k值是解决本题的突破口．

解答：（1）证明：连接BF，BD，以BD为直径画圆．

∵BF⊥FD，BC⊥CD，
∴F、C两点必过以BD为直径的圆，
∴∠DBC=∠DFC，
∴∠EFA=∠DFC=∠DBC．
∵∠EFA为劣弧

AE

的圆周角，且E为半圆的中点，
∴∠EFA=

1

2

•90°=45°．
在Rt△CDB中，
∵∠DBC=∠EFA=45°，
∴∠BDC=45°，
∴BC=CD．

（2）解：∵D（m，n），
∴C（m，0），
∵B（4，0），
∴BC=m-4，
∵BC=CD，
∴n=CD=m-4．
∴（m-n）²=4²=16
∵m、n为方程x²+px+p+8=0的两根，
∴m+n=-p，mn=p+8，
∴16=（m-n）²=（m+n）²-4mn=p²-4p-32，
解得 p=2+2

13

或p=2-2

13

．
对方程x²+px+p+8=0，△=p²-4（p+8）=（p-8）（p+4），
∵方程有两根，即△＞0，
∴p＜-4或p＞8，
∴p=2+2

13

或p=2-2

13

都符合要求，即此时p为2+2

13

或2-2

13

．

（3）答：k＜-

4

3

或k＞0时，使△ABH为直角三角形H点有且只有两个．
分析如下：

如备用图，即（0，8）为C，直线y=kx+8必过此点，
连接CE，过点C作CD与⊙P相切与D，连接PD交CO于G，过点D作DF⊥OB于F．
此时直线CE与⊙P相切，当直线CE逆时针小范围旋转时，直线与圆有两个交点，即使△ABH为直角三角形H点有且只有两个；
由直线CD与⊙P相切，当直线顺时针小范围旋转时，直线与圆有两个交点，即使△ABH为直角三角形H点有且只有两个．
综上，CE逆时针旋转至CD的过程中，使△ABH为直角三角形H点有且只有两个．下面讨论k的情况．
①直线CE．此时为y=8，即k=0．
②直线CD．若连接PE，CP，易证△CEP≌△CDP，即CD=CE=4．
∵PO=4=CD，∠PGO=∠CGO，∠POG=∠CDG=90°，
∴△PGO≌△CGD，
∴设GO=x，PG=PD-GD=PD-GO=8-x，
在Rt△PGO中，由勾股定理得（8-x）²=4²+x²，
解得，x=3，
∴GO=3，PG=5．
∵GO∥DF，
∴

DF

GO

=

PD

PG

，
∴

DF

3

=

8

5

，
解得 DF=

24

5

，
同理，PF=

32

5

，
∴OF=PF-OP=

32

5

-4=

12

5

，
∴D（

12

5

，

24

5

），
∵D在直线CD：y=kx+8上，
∴代入解得 k=-

4

3

．
根据一次函数k的性质可知：k＜-

4

3

或k＞0时，使△ABH为直角三角形H点有且只有两个．

点评：本题难度较高，考查了圆、三角形、一元二次方程根与系数关系及一次函数系数性质等相关知识，其中（1）辅助线的作法并不易想到，需要特殊留意．总体来说，综合性极高，学生一定要加强理解．