Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=-

1

2

x+1分别与x轴，y轴交于过点A，B，点C是第一象限内的一点，且AB=AC，AB⊥AC，抛物线y=-

1

2

x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，B，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：根据直线方程求得A（2，0）、B（0，1）．如图，过点C作CE⊥x轴，易证△AOB≌△ECA．由该全等三角形的对应边相等易求C（3，2）．把点A、C的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值；
（2）AB∥CD．根据（1）中抛物线的解析式可以求得D（7，0）．由两点间的坐标公式可以得到 AC=

5

，CD=2

5

，AD=5．根据勾股定理的逆定理判定△ACD为直角三角形，则∠ACD=∠BAC=90°．故AB∥CD；
（3）如图，由题意可知，要使得以A，B，M，N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．则点N到x轴的距离等于1．可得-

1

2

x2+

9

2

x-7=1和-

1

2

x2+

9

2

x-7=-1．通过解这两个方程得x1=

9- 17

2

，x2=

9+ 17

2

，x3=

9+ 33

2

，x4=

9- 33

2

．

解答：解：（1）由题意可求点A（2，0），点B（0，1）．
过点C作CE⊥x轴，易证△AOB≌△ECA．
∴OA=CE=2，OB=AE=1．
∴点C的坐标为（3，2）．
将点A（2，0），点C（3，2）
代入y=-

1

2

x2+bx+c，得

-2+2b+c=0 - 9 2 +3b+c=2.

解得

b= 9 2 c=-7.

∴二次函数的解析式为y=-

1

2

x2+

9

2

x-7；

（2）AB∥CD．理由如下：
令-

1

2

x2+

9

2

x-7=0，解得x_D=7．
∴D点坐标为（7，0）．
可求 AC=

5

，CD=2

5

，AD=5．
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴AB∥CD；

（3）如图，由题意可知，要使得以A，B，M，N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．
∵B点坐标为（0，1），
∴点N到x轴的距离等于1．
可得-

1

2

x2+

9

2

x-7=1和-

1

2

x2+

9

2

x-7=-1．
解这两个方程得x1=

9- 17

2

，x2=

9+ 17

2

，x3=

9+ 33

2

，x4=

9- 33

2

．
∴点N的坐标分别为（

9- 17

2

，1），（

9+ 17

2

，1），（

9+ 33

2

，-1），（

9- 33

2

，-1）．

点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形的性质，以及平行四边形的性质．解答（3）题的关键是推知“点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等”．