Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，并且AB=2CD，M、N分别是对角线AC，BD的中点，设梯形ABCD的周长为L₁，四边形CDMN的周长为L₂，求L₁：L₂．

Answer 1

考点：梯形,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质

专题：计算题

分析：要求的两个四边形已经有AB=2CD，所以再寻求其它的边的关系，根据条件中的中点及角的关系先推出三角形全等，然后再结合条件和图形推出边的关系即可．

解答：解：如图所示，延长DM交AB于H，
设CD=x，则AB=2x，
∵M是AC的中点，
∴AM=CM，
∵AB∥CD，
∴∠DCM=∠HAM，
在△AMH和△CMD中，

∠DCM∠HAM   ∠DMC=∠AMH   AM=CM

，
∴△AMH≌△CMD（AAS），
∴DM=HM，DC=AH，
∵N是BD的中点，
∴DN=BN，
∴MN=

1

2

BH=

1

2

(AB-CD)=

1

2

x，
∵AB=2CD，
∴AB=2AH，
∴AH=HB，
∴CD=HB，
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴DH=BC=2DM，
同理可得AD=2CN，
∴L₁=AB+CD+AD+BC=2x+x+2DM+2CN=3x+2DM+2CN，
L₂=MN+CD+DM+CN=

1

2

x+x+DM+CN=

3

2

x+DM+CN，
∴L₁：L₂=2：1．

点评：该题目考查了梯形的性质、三角形全等的判定和性质，关键是分析作出辅助线并推出四边形DHBC是平行四边形．