Question

如图，△ACB内接于⊙O，弦AB等于半径长，点D是

CA

的中点，设∠CAB=α，∠ABD=β．
（1）当α=80°时，求β的度数；
（2）探究α与β的关系．

Answer 1

考点：圆周角定理,等边三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：计算题

分析：（1）连接OA，OB，由于弦AB等于半径长，于是可判断△AOB为等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得到∠ACB=30°，再利用三角形内角和定理得∠ABC=70°，由于点D是

CA

的中点，所以β=

1

2

∠ABC=35°；
（2）由（1）得∠ACB=30°，β=∠ABD=

1

2

∠ABC，然后根据三角形内角和定理得到30°+α+2β=180°，即α+2β=150°．

解答：解：（1）连接OA，OB，如图，
∵弦AB等于半径长，
∴△AOB为等边三角形．
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=30°，
又∵∠CAB=80°，
∴∠ABC=70°．
∵点D是

CA

的中点，
∴β=∠ABD=

1

2

∠ABC=35°；

（2）∵∠ACB=30°，β=∠ABD=

1

2

∠ABC；
∴30°+α+2β=180°，
∴α+2β=150°．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．