Question

12．阅读理解：对于二次三项式x²+2ax+a²可以直接用公式法分解为（x+a）²的形式，但对于二次三项式x²+2ax-8a²，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x²+2ax-8a²中先加上一项a²，使其成为完全平方式，再减去a²这项，使整个式子的值不变，于是又：
x²+2ax-8a²
=x²+2ax-8a²+a²-a²
=（x²+2ax+a²）-8a²-a²
=（x+a）²-9a²
=[（x+a）+3a][（x+a）-3]
=（x+4a）（x-2a）
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x²+2ax-3a²分解因式．
（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x²-4xy+3y²=0化为（x-y）•（x-3y）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）
（3）先化简$\frac{x}{y}$-$\frac{y}{x}$-$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$，再利用（2）中y与x的关系式求值．

Answer 1

分析 （1）仿照阅读材料中的添（拆）项法，将原式分解即可；
（2）用上述的添项法将方程变形，利用两数相乘积为0，两数中至少有一个为0得到x与y的关系式即可；
（3）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分后将x与y的关系式代入计算即可求出值．

解答 解：（1）x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-4a²=（x+a）²-4a²=（x+a+2a）（x+a-2a）=（x+3a）（x-a）；
（2）x²-4xy+3y²=x²-4xy+4y²-y²=（x-2y）²-y²=（x-2y+y）（x-2y-y）=（x-y）（x-3y）；x=y或x=3y；
故答案为：y；3y
（3）原式=$\frac{{x}^{2}-{y}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}{xy}$=$\frac{-2{y}^{2}}{xy}$=-$\frac{2y}{x}$，
若x=3y，原式=-$\frac{2}{3}$．

点评 此题考查了因式分解-添（拆）项法，读懂阅读材料运用添（拆）项法是解本题的关键．