Question

4．如图，直线y=kx+b与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y=-$\frac{m}{x}$（x＜0）交于点P（-1，4），且F是PE的中点．
（1）求双曲线y=-$\frac{m}{x}$和直线y=kx+b的解析式；
（2）若平行于y轴的直线x=a与直线y=kx+b交于点A，与双曲线交于点B（A与B不重合），问a为何值时，PA=PB？

Answer 1

分析 （1）把P代入y=-$\frac{m}{x}$（x＜0），根据待定系数法即可求得双曲线的解析式，再根据F为PE中点，求出F的坐标，把P，F的坐标代入求出直线l的解析式；
（2）过P作PD⊥AB，垂足为点D，由A点的纵坐标为-2a+2，B点的纵坐标为-$\frac{4}{a}$，D点的纵坐标为4，列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{m}{x}$（x＜0）经过点P（-1，4），
∴4=-$\frac{m}{-1}$
∴m=1×4=4，
∴双曲线为y=-$\frac{4}{x}$，
∵F是PE的中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴F（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-2x+2；
（2）如图，过P作PD⊥AB，垂足为点D，
∵PA=PB，
∴点D为AB的中点，
又∵由题意知A点的纵坐标为-2a+2，B点的纵坐标为-$\frac{4}{a}$，D点的纵坐标为4，
∴得方程-2a+2-（-$\frac{4}{a}$）=2×4，
解得a₁=-2，a₂=-1（舍去）．
∴当a=-2时，PA=PB．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的重点是求出双曲线和直线l的解析式．