Question

如图，∠AOB=∠DOC=90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．
（1）∠AOD和∠BOC是否互补？说明理由；
（2）射线OF是∠BOC的平分线吗？说明理由；
（3）反向延长射线OA至点G，射线OG将∠COF分成了4：3的两个角，求∠AOD．

Answer 1

考点：余角和补角,角平分线的定义

专题：

分析：（1）根据和等于180°的两个角互补即可求解；
（2）通过求解得到∠COF=∠BOF，根据角平分线的定义即可求解；
（3）分两种情况：①当∠COG：∠GOF=4：3时；②当∠COG：∠GOF=3：4时；进行讨论即可求解．

解答：解：（1）因为∠AOD+∠BOC
=360°-∠AOB-∠DOC
=360°-90°-90°
=180°，
所以∠AOD和∠BOC互补．
（2）因为OE平分∠AOD，
所以∠AOE=∠DOE，
因为∠COF=180°-∠DOC-∠DOE=90°-∠DOE，
∠BOF=180°-∠AOB-∠AOE=90°-∠AOE，
所以∠COF=∠BOF，即OF是∠BOC的平分线．
（3）因为OG将∠COF分成了4：3的两个部分，
所以∠COG：∠GOF=4：3或者∠COG：∠GOF=3：4．
①当∠COG：∠GOF=4：3时，设∠COG=4x°，∠GOF=3x°，
由（2）得：∠BOF=∠COF=7x°
因为∠AOB+∠BOF+∠FOG=180，
所以90+7x+3x=180，
解方程得：x=9，
所以∠AOD=180-∠BOC=180-14x=54．
②当∠COG：∠GOF=3：4时，设∠COG=3x°，∠GOF=4x°，
同理可列出方程：90+7x+4x=180，
解得：x=

90

11

，
所以∠AOD=180-∠BOC=180-14x=

720

11

．
综上所述，∠AOD的度数是54或

720

11

．

点评：考查了余角和补角，角平分线的定义，同时涉及到分类思想的综合运用．