Question

17．如图，△ABC是等边三角形，AB=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，运动速度均为1cm/s，点P从点A出发，沿A→B运动，到点B停止，点Q从点C出发，沿C→A运动，到点A停止，连接BQ、CP相交于点D，设点P的运动时间为x（s）．
（1）AP=x（用含x的式子表示）；
（2）求证：△ACP≌△CBQ；
（3）求∠PDB的度数；
（4）当CP⊥AB时，直接写出x的值．

Answer 1

分析 （1）根据点P的运动时间为x（s），运动速度均为1cm/s，得到AP=x；
（2）利用SAS证明△ACP≌△CBQ；
（3）由△ACP≌△CBQ，得到∠ACP=∠QCB，利用外角的性质∠PDB=∠DBC+∠DCB，即可解答；
（4）当CP⊥AB时，则点P为AB的中点，所以AP=$\frac{1}{2}$AB=1cm，则x=1．

解答 解：（1）∵点P的运动时间为x（s），运动速度均为1cm/s，
∴AP=x，
故答案为：x．
（2）∵动点P、Q分别从点A、C同时出发，运动速度均为1cm/s，点P从点A出发，沿A→B运动，到点B停止，点Q从点C出发，沿C→A运动，到点A停止，
∴AP=CQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠ACB=60°，
在△ACP和△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠A=∠QCB}\\{AP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△CBQ．
（3）∵△ACP≌△CBQ，
∴∠ACP=∠QCB，
∵∠PDB=∠DBC+∠DCB，
∴∠PDB=∠DCB+∠ACP=∠ACB=60°．
（4）当CP⊥AB时，则点P为AB的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=1cm，
∴x=1．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ACP≌△CBQ．