题目内容
5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点A、B、C在坐标轴上，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8．①求直线AC的解析式；
②点P为射线AC上的任意一点，过P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，若点P的横坐标为t，线段PQ的长为d（d≠0），请用含t的式子表示d；
③在②的条件下，当PA=$\frac{5}{6}$d时，点E是线段CQ上一点，连接OE、BP，若OE=PB，探究∠APB与∠OEB之间的数量关系，并证明你的结论．
分析 ①根据直角三角形的性质求得A和C的坐标，然后利用待定系数法求解；
②分成P在线段AC上和在AC的延长线上两种情况进行讨论，求得P和Q的坐标，则d即可利用t表示；
③根据②的结果以及PA=$\frac{5}{6}$d即可求得t的值，然后证明△EMO≌△BCP，即可解答．
解答 解：①∵直角△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
又∵直角△AOC中，∠ACO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，
则OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
则A的坐标是（-2，0），C的坐标是（0，2$\sqrt{3}$），
设AC的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则直线AC的解析式是y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$；
②OB=AB-OA=8-2=6，则B的坐标是（6，0），
设BC的解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-6m+n=0}\\{n=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{n=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则BC的解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$．
当-2＜t≤0时，如图1，
把x=t代入y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$得，
y=$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$，
则P的坐标是（t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
把y=$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
得：$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
解得：x=-3t，
即Q的坐标是（-3t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
则d=-3t-t=-4t；
当t＞0时，如图2，同理求得P的坐标是（t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
Q的坐标是（-3t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
则d=t-（-3t）=4t；
③当-2＜t≤0时，PA=2（t+2），则2（t+2）=$\frac{5}{6}$（-4t），解得t=-$\frac{1}{4}$，
OE＜OB＜BC＜BP，不满足条件；当P在线段AC的延长线上，由②可得AP=4+2t，由PA=$\frac{5}{6}$d得4+2t=$\frac{5}{6}$×4t，
解得：t=3．
∠APB=30°+∠OEB，
理由是：BH=3，DH=5$\sqrt{3}$，PB2=9+75=84，
AP=10，PC=6，BC=4$\sqrt{3}$，
设EM=$\sqrt{3}$x，BM=3x，（$\sqrt{3}$x）2+（3x-6）2=84，解得：x=4，
∴EM=4$\sqrt{3}$，OM=12-6=6，
在△EMO和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=BC}\\{∠EMO=∠PCB}\\{OM=PC}\end{array}\right.$，
∴△EMO≌△BCP，
∴∠MOE=∠CPB=∠OBE+∠OEB，
∴∠APB=30°+∠OEB．
点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及全等三角形的判定与性质，正确证明△EMO≌△BCP是关键．
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