题目内容
如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4，DC＝6，求AD的长. 
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.
可求证∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°AE＝AF.∴四边形AEGF是正方形.
（2）AD=12
解析试题分析：(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF .
∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°.
又∵AD⊥BC
∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°.
又∵AE＝AD，AF＝AD
∴AE＝AF.
∴四边形AEGF是正方形.
(2)解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x.
∵BD＝4，DC＝6
∴BE＝4 ，CF＝6
∴BG＝x－4，CG＝x－6
在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2
∴( x－4)2＋(x－6)2＝102.
化简得，x2－10x－24＝0
解得x1＝12，x2＝－2（舍去）
所以AD＝x＝12
考点：四边形与一元二次方程探究
点评：本题难度较大，主要考查学生对四边形判定及一元二次方程综合应用的掌握能力，为中考常考题型，要求学生培养数形结合思想，运用到考试中去。
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