题目内容

如图,△ABC中,已知AB=AC,△DEF是△ABC的内接正三角形,α=∠BDF,β=∠CED,γ=∠AFE,则用β、γ表示α的关系式是
α=
β+γ
2
α=
β+γ
2
分析:先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可知∠A+2∠B=180°,由α=∠BDF,β=∠CED,γ=∠AFE,△DEF是等边三角形可知∠1=120°-β,∠2=120°-γ,由三角形内角和定理可知∠A+∠1+γ=180°,∠B+α+∠2=180°,再把所得式子联立即可求出α、β、γ的关系.
解答:解:∵△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠A+2∠B=180°①,
∵△DEF是等边三角形,α=∠BDF,β=∠CED,γ=∠AFE,
∴∠1=120°-β,∠2=120°-γ,
在△AEF中,∠A+∠1+γ=180°,即∠A+120°-β+γ=180°②,
在△BDF中,∠B+α+∠2=180°,即∠B+α+120°-γ=180°③,
①②③联立,解得α=
β+γ
2

故答案为:α=
β+γ
2
点评:本题考查的是等边三角形及等腰三角形的性质,解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°是解答此题的关键.
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