Question

14．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是$\widehat{CBD}$上任意一点，AH=2，CH=4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△COH中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）只要证明∠CMD=△COA，求出sin∠COA即可；
（3）由△EHM∽△NHF，推出$\frac{HE}{HN}$=$\frac{HM}{HF}$，推出HE•HF=HM•HN，又HM•HN=AH•HB，推出HE•HF=AH•HB，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接OC．
∵AB⊥CD，
∴∠CHO=90°，
在Rt△COH中，∵OC=r，OH=r-2，CH=4，
∴r²=4²+（r-2）²，
∴r=5．

（2）如图1中，连接OD．
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{CD}$，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠COD，
∵∠CMD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠CMD=∠COA，
∴sin∠CMD=sin∠COA=$\frac{CH}{CO}$=$\frac{4}{5}$．

（3）如图2中，连接AM．
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°，
∵∠E+∠ABM=90°，
∴∠E=∠MAB，
∴∠MAB=∠MNB=∠E，
∵∠EHM=∠NHF
∴△EHM∽△NHF，
∴$\frac{HE}{HN}$=$\frac{HM}{HF}$，
∴HE•HF=HM•HN，
∵HM•HN=AH•HB，
∴HE•HF=AH•HB=2•（10-2）=16．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．