Question

6．如图，△ABC内接于⊙O，AC=BC，D为弧AB上一点，延长DA至E，使CE=CD．
（1）求证：∠ACE=∠BCD．
（2）若AD+BD=$\sqrt{3}$CD，求∠ACB的大小．

Answer 1

分析 （1）只要证明△CED和△CAB是底角相等的两个等腰三角形即可解决问题．
（2）如图2中，作CM⊥BD于M，CN⊥DE于N．首先证明△CDM≌△CDN，可得DM=DN，CM=CM，由Rt△CMB≌Rt△CNA中，得到AN=BM，由AD+BC=AD+DM+BM=AD+DM+AN=DN+DM=2DM，推出AD+BD=$\sqrt{3}$CD，即2DM=$\sqrt{3}$CD，推出$\frac{DM}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再由cos∠CDM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，推出∠CDM=30°，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵CA=CB，CE=CD，
∴∠CAB=∠CBA，∠CED=∠CDE，
∵∠CBA=∠CDE，
∴∠CEA=∠CDE=∠CAB=∠CBA，
∵∠ECD=180°-∠CED-∠CDE，∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA，
∴∠ECD=∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD．

（2）解：如图2中，作CM⊥BD于M，CN⊥DE于N．

∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠DCB=∠CAB，∠ADC=∠CBA，
∴∠CDE=∠CDB，
在△CDM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠CDM}\\{∠CMD=∠CND=90°}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△CDN，
∴DM=DN，CM=CM，
在Rt△CMB和Rt△CNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CN}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴AN=BM，
∴AD+BC=AD+DM+BM=AD+DM+AN=DN+DM=2DM，
∵AD+BD=$\sqrt{3}$CD，
∴2DM=$\sqrt{3}$CD，
∴$\frac{DM}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos∠CDM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CDM=30°，
∴∠CAB=∠CBA=30°，
∴∠ACB=120°．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，题目比较难，属于中考压轴题．